Анотация

Според утвърдилата се терминология, “динамична система” се нарича реален обект еволюирал с времето t и математическа система от обикновени диференциални уравнения (ОДУ) с аргумент t. Последните могат да бъдат точен или приближен математически модел на реалния обект. Тогава изводите направени при анализа на модела ще са в сила в една или друга степен и за обекта. Динамичните системи биват линейни и нелинейни. Линейните системи са много добре изучени и са обект на основни математически курсове. Не може да се твърди същото относно нелинейните системи.

От друга страна, една от най-завладяващите теории на съвременната теория на хаоса вв- възникна и се гради в рамките на по-общата теория на нелинейните динамични системи, описвани от при (n=3) и повече нелинейни ОДУ. Логическото лекционно излагане на теорията на хаоса, както и за редица други цели, изисква предварително познание на така наречената “качествена теория” на ОДУ в случая на едно и две уравнения (n=1,2). Такава е целта на предлагания спецкурс наречен “Увод в нелинейната динамика”.

На много разбираемо и геометрично онагледено ниво се въвеждат и развиват основни понятия и подходи, които понататък лесно се обобщават за n=3. В съдържанието на курса доминира математическият аспект, но при всяка възможност се дават и подходящи примери от различни области на природните и други науки, които загатват интердисциплинарния характер на общата теория на НДС по отношение на приложенията й.

Необходимите предварителни математически познания за предлагания спецкурс са диференциално смятане и ОДУ в рамките на стандартните начални курсове по висше математика за студентите от физико-математически и инженерни специалности. Задачите за упражненията към курса в час или като домашно допълват лекционния материал. Предвидени са и компютърно-графични демонстрации.

Лекции

• Общ поглед върху предмета. Кратка история. Линейност и нелинейност. Основни понятия - 2 часа.
• Едномерни НДС върху права. Дефиниция. Геометрично представяне. Фиксирани точки и устойчивост. Примери. Линеен анализ за устойчивост. Съществуване и единственост. Отсъствие на осцилации. Потенциали. Примери - 4 часа.
• Бифуркоцшш. Дефиниции. Видове бифуркации (седло-възел, “камертон”, над-, под-, и транс-критична и др.) Примери. Бифуркации и катастрофа. Примери - 5 часа.
• Едномерни НДС върху окръжност. Дефиниции и примери. “Равномерни” и “неравномерни”осцилатори. Механично махало. Други примери - 4 часа.
• Двумерни НДС. Линейни системи. Дефиниции и примери. Класификация на линейните системи и фиксираните точки. Примери. Нелинейни системи – фазови портрети. Съществуване, единственост и топологични следствия. Фиксирани точки и линеаризация. Ефект на слаба нелинейност. Примери. Консервативни системи – примери. Обратими системи – махало. Теория на индексите. Гранични цикли (ГЦ). Дефиниция и примери на ГЦ. Критерии (теореми) на Поанкаре-Бндиксон и др. за наличие или отсъствие на ГЦ. Примери. Силно- и слабо- нелинейни осцилатори (Ван дер-Пол, Дюфинг и др.) и аналитични методи за тях (на пертурбациите, на различните временни мащаби и др.).Бифуркации и фазови портрети в двумерни НДС. Видове бифуркации (седло-възел, “камертон”, Хопф. Хомоклинична и др.) и геометрични илюстрации. Моделни примери от различни науки (физика, химия, екология, икономика и др.). 18 Понятие за фрактали и фрактална размерност. Канторово множество и други примери - 4 часа.
• Тримерни НДС. Най-общи сведения и дефиниции. Прости и странни атрактор Система на Е. Лоренц – регулярно и хаотично поведение - 3 часа.
• Понятие за дискретни НДСЕдномерни НДС – обща теория и конструиране. Логистично уравнение – свойства - 3 часа.

Упражнения

• Едномерни НДС върху права. Дефиниция. Геометрично представяне. Фиксирани точки и устойчивост. Примери. Линеен анализ за устойчивост. Съществуване и единственост. Отсъствие на осцилации. Потенциали. Примери - 2 часа.
• Бифуркоцшш. Дефиниции. Видове бифуркации (седло-възел, “камертон”, над-, под-, и транс-критична и др.) Примери. Бифуркации и катастрофа. Примери - 2 часа.
• Едномерни НДС върху окръжност. Дефиниции и примери. “Равномерни” и “неравномерни”осцилатори. Механично махало. Други примери - 2 часа.
• Двумерни НДС. Линейни системи. Дефиниции и примери. Класификация на линейните системи и фиксираните точки. Примери. Нелинейни системи – фазови портрети. Съществуване, единственост и топологични следствия. Фиксирани точки и линеаризация. Ефект на слаба нелинейност. Примери. Консервативни системи – примери. Обратими системи – махало. Теория на индексите. Гранични цикли (ГЦ). Дефиниция и примери на ГЦ. Критерии (теореми) на Поанкаре-Бндиксон и др. за наличие или отсъствие на ГЦ. Примери. Силно- и слабо- нелинейни осцилатори (Ван дер-Пол, Дюфинг и др.) и аналитични методи за тях (на пертурбациите, на различните временни мащаби и др.).Бифуркации и фазови портрети в двумерни НДС. Видове бифуркации (седло-възел, “камертон”, Хопф. Хомоклинична и др.) и геометрични илюстрации. Моделни примери от различни науки (физика, химия, екология, икономика и др.) - 8 часа.
• Понятие за фрактали и фрактална размерност. Канторово множество и други примери - 1 час.

Литература

• С.Панчев – Теория на хаоса, Акад. изд. “проф. М. Дринов”, 1996 г.
• Рабинович М. И., Трубецков Д. И – Введение в теорию колебаний и волн, М., Наука, 1984 г.
• Богоявленский О.Н. – Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике. Н., Наука, 1985.
• Волъкенштейн Н.В., - Биофизика, М., Наука, 1981 г.
• Хакен Г. – Синергетика, 1985 г.
• Неймарк Ю.И., Ланда ПVс. – Стохастические и хаотические колебания, М., Наука, 1987 г.
• А. Лихтенберг, М. Либерман – Регулярная и стохастическая динамика, Москва, 1984г.

Допълнителна литература